已知直线y=2x+a交圆x平方+y平方=1于两点M（x1,y1）,N（x2,y2）,且x轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON

题目

已知直线y=2x+a交圆x平方+y平方=1于两点M（x1,y1）,N（x2,y2）,且x轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON
已知直线y=2x+a交圆x平方+y平方=1于两点M（x1,y1）,N（x2,y2）,且x轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON
（O为左边原点）的最小正角依次为α,β
（1）求证cos（α+β）=x1x2-y1y2
（2）求证：y1y2=4x1x2+2a(x1+x2)+a平方
（3）求cos（α+β）的值

答案

由题意可知,x1=COSW,y1=sinW,x2=COSE,y2=sinE.所以COS(W+E)=X1X2-Y1Y2.又x^2+(2x+a)^2=1,即5x^2+4ax+a^2-1=0,x1+x2=-4a/5,x1*x2=(a^2-1)/5,y1*y2=(2x1+a)*(2x2+a)=4*x1*x2+2a(x1+x2)+a^2=4(a^2-1)/5+2a(x1+x2)+a^2.
COS(W+E)=X1X2-Y1Y2=-3x1*x2-2a(x1+x2)-a^2=-3(a^2-1)/5+4a^2-a^2=(7a^2)/5+3/5.