设向量a1,a2,...an线性无关,证明向量b,a1,a2,...an线性无关的充要条件是向量b不能由由a1..an线性表

题目

设向量a1,a2,...an线性无关,证明向量b,a1,a2,...an线性无关的充要条件是向量b不能由由a1..an线性表

答案

若向量b,a1,a2,...an线性相关,则存在不全为0的实数m,m1,m2,……,mn,使得
bm+a1m1+a2m2+……+anmn=0,
若m=0,则a1m1+a2m2+……+anmn=0,其中m1,m2,……,mn不全为0,
这与“向量a1,a2,...an线性无关”矛盾,
∴m≠0,b=-(a1m1+a2m2+……+anmn)/m,
∴向量b可由a1,a2,……,an线性表示.
反之,若向量b可由a1,a2,……,an线性表示,则
b=a1m1+a2m2+……+anmn,
∴a1m1+a2m2+……+anmn+（-1）b=0,
∴向量b,a1,a2,...an线性相关.
由于“线性相关”和“线性无关”是对立的,所以命题成立.