如图:是y=f(x)=a/3x3-2x2+3a2x的导函数y=f′(x)的简图,它与x轴的交点是(1,0)和(3,0) (1)求y=f(x)的极小值点和单调减区间; (2)求实数a的值.

如图:是y=f(x)=a/3x3-2x2+3a2x的导函数y=f′(x)的简图,它与x轴的交点是(1,0)和(3,0) (1)求y=f(x)的极小值点和单调减区间; (2)求实数a的值.

题目
如图:是y=f(x)=
a
3
x3-2x2+3a2x的导函数y=f′(x)的简图,它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)

(1)求y=f(x)的极小值点和单调减区间;
(2)求实数a的值.
答案
(1)由f(x)=
a
3
x3-2x2+3a2x的导函数y=f'(x)的图象可知:导函数f'(x)小于0的解集是(1,3);
函数f(x)=
a
3
x3-2x2+3a2x在x=1,x=3处取得极值,且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正.
即函数在x=3处取得极小值,函数的单调减区间为(1,3).
(2)由于f(x)=
a
3
x3-2x2+3a2x的导函数f'(x)=ax2-4x+3a2,又由(1)知,f'(1)=0且f'(3)=0
f′(1)=a−4+3a2=0
f′(3)=9a−12+3a2=0
解得 a=1.
则实数a的值为1.
(1)先利用其导函数f'(x)图象,判断导函数值的正负来求其单调区间,进而求得其极值.(注意是在定义域内研究其单调性)
(2)由图知,f'(1)=0且f'(3)=0,代入导函数解析式得到关于a的方程,解出即可.

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性,利用导数研究函数的单调性,求解函数的单调区间、极值、最值问题,是函数这一章最基本的知识,也是教学中的重点和难点,学生应熟练掌握.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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