设f(x)=2x/(2+x),x1=1,f(x下标n-1)(n>=2,n属于N)

题目

设f(x)=2x/(2+x),x1=1,f(x下标n-1)(n>=2,n属于N)
求x2,x3,x4的值 归纳{xn}的通项公式,用数学归纳法证明

答案

xn=f[x(n-1)]=2x(n-1)/[2+x(n-1)]
x2=2x1/(2+x1)=2/3
x3=2x2/(2+x2)=2(2/3)/(2+2/3)=1/2=2/4
x4=2x3/(2+x3)=2(1/2)/(2+1/2)=2/5
猜想：xn=2/(n+1)
1)当n=1时,x1=2/(1+1),命题成立.
2)假设n=k时命题成立,即xk=2/(k+1).
3)求证：当n=k+1时命题成立,即x(k+1)=2/(k+2).
x(k+1)=2xk/(2+ak)=2[2/(k+1)]/[2+2/(k+1)]=[4/(k+1)]/[(2k+4)/(k+1)]=2/(k+2).
所以,n=k+1时,命题成立.
综上所述,xn=2/(n+1),n为正整数.