导数及导数的运算

　　大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法;1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A)，发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

　　发展

　　17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程;在于自变量的变化与函数的变化的比的构成;最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

　　成熟

　　1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox).1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的定义也就获得了今天常见的形式。微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在;另一种是潜无限，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。

　　就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。

　　连续不可导的曲线

　　例如,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)就是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

　　设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量(也在该邻域内)时，相应地函数取得增量;如果与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数记为，即也记作，，或 。

　　导函数

　　如果函数在开区间I内每一点都可导，就称函数在区间I内可导。这时函数对于区间I内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数，记作，，，，简称导数。

　　几何意义

　　函数在点的导数的几何意义：表示函数曲线在点处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。