（1）计算：11×3+13×5+…+12011×2013；（2）若|x-1|+|y+1|=0，试求：1x(y+3)+1(x+1)(y+4)+1(x+2)(y+5

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）计算：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2011×2013

；
（2）若|x-1|+|y+1|=0，试求：

1

x(y+3)

+

1

(x+1)(y+4)

+

1

(x+2)(y+5)

+…+

1

(x+2011)(y+2014)

的值；
（3）若n为整数，且（

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

）×|n|＜1，求n²+n的值．

答案

（1）

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2011×2013

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2011

-

1

2013

）
=

1

2

×（1-

1

2013

）
=

1

2

×

2012

2013

=

1006

2013

；

（2）∵|x-1|+|y+1|=0，
∴x-1=0，y+1=0，
解得x=1，y=-1，
则

1

x(y+3)

+

1

(x+1)(y+4)

+

1

(x+2)(y+5)

+…+

1

(x+2011)(y+2014)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；

（3）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

2002

-

1

2005

）
=

1

3

×（1-

1

2005

）
=

1

3

×

2004

2005

=

668

2005

，
∵（

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

）×|n|＜1，
∴n=-3或-2或-1或0或1或2或3，
∴当n=-3时，n²+n=6；
当n=-2时，n²+n=2；
当n=-1时，n²+n=0；
当n=0时，n²+n=0；
当n=1时，n²+n=2；
当n=2时，n²+n=6；
当n=3时，n²+n=12．