已知x、y为正整数，且满足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）  （x≥y ）．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知x、y为正整数，且满足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）  （x≥y ）．

答案

①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．
则由原方程，得
ky•y-（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-（k+1）=2+k，
∴k（y-2）=3，
当k=1时，x=5，y=5；
当k=3时，x=9，y=3；
∴

x=9 y=3

，

x=5 y=5

；

②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式
得：abp²-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a+1）（b+1）
当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件；
当p＞1时，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1）
此时，abp-1=（a-1）（b+1）不满足条件；
综上所述，满足条件的数对有：

x=9 y=3

，

x=5 y=5

．