已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β,求①以α3、β3为根的一元二次方程;②若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β,求 ①以α3、β3为根的一元二次方程; ②若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程. |
答案
①∵方程x2-px+q=0的两根为α、β, ∴α+β=p,αβ=q, ∴α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)3-3αβ(α+β)=p3-3pq, α3β3=(αβ)3=q3, ∴以α3、β3为根的一元二次方程为x2-(p3-3pq)x+q3=0;
②由题意,得, 由q3=q,得q=0,q=±1, 当q=0时,p3=p,p=0,±1; 当q=1时,p3=4p,p=0,±2; 当q=-1时,p3=-2p,p=0. ∵当p=0,q=1时,方程x2+1=0无实根, ∴满足条件的方程有x2=0;x2-x=0;x2+x=0;x2-2x+1=0;x2+2x+1=0;x2-1=0. |
举一反三
下列计算正确的是( )A.-2(-2)3=-(-2)4=16 | B.(a-b)2(b-a)3=-(b-a)5 | C.a2(-a)3(-a)=-a10 | D.(-y)3(-y)2=-y5 |
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用简便方法计算: (1)(1)11()11(-1)11, (2)12 3452-12 344×12 346. |
计算:(1)-(-2xy3)4=______; (2)(-2007)0+()-2=______; (3)(0.25)2008-(-4)2008=______. |
已知x,y满足y2=-x2+2x--y,求代数式的值. |
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