已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE=x，

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE，得AE=（    ）；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．

答案

解：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8﹣EC=8﹣y；
（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴y=8﹣2x（0＜x＜4）；
（3）S=xy=x（8﹣2x）=﹣2（x﹣2）²+8，
∴当x=2时，S=﹣2（2﹣2）²+8，即S有最大值8．