一个完全平方数n的最后k(k≥2)位数字是相同的非零数字a,问:(1)a为哪个数字?(2)k最大为多少?(3)当k最大时,写出最小的具有这样性质的数.(不必证明
题型:解答题难度:一般来源:不详
一个完全平方数n的最后k(k≥2)位数字是相同的非零数字a,问: (1)a为哪个数字? (2)k最大为多少? (3)当k最大时,写出最小的具有这样性质的数.(不必证明) |
答案
(1)一个平方数的末位数字(非0)只能是1,4,5,6,9. ∴数n的末二位必然是11,44,55,66,99, 又n为平方数, ∴n≡0或1(mod4). 而末二位是11,55,99的数同余于3(mod4), 末二位是66的数同余于2(mod4). ∴a只能为4,如144=122.
(2)若至少有连续4个4,即n=m2=t?104+4444. ∴可设m=2m1,m12=25t?102+1111≡3(mod4). 同(1)可知,25t?102+1111不能为完全平方数. ∴至多连续3个4.(能够做到,见(3))
(3)当k最大时,最小的具有这样性质的数为1444=382. |
举一反三
阅读下列计算过程: 9×9+19=92+2×9+1=(9+1)2=102 99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=1002=104 计算:999×999+1999=______=______=______=______ 9999×9999+19999=______=______=______=______ 猜想:×+1等于多少? |
观察下面各式规律: 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2 … (1)请写出第2004行式子.______ (2)请写出第n行式子.______. |
若x2+mx+9是关于x的完全平方式,则m=______. |
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