观察下列算式：12=11×2=11-12；16=12×3=12-13；112=13×4=13-14；…（1）通过观察，你得到什么结论？用含n（n为正整数）的等式

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列算式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
（1）通过观察，你得到什么结论？用含n（n为正整数）的等式表示：______．
（2）利用你得出的结论，计算：

1

(a-1)(a-2)

+

1

(a-2)(a-3)

+

1

(a-3)(a-4)

+

1

(a-4)(a-5)

．

答案

（1）∵

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
故答案为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）∵由（1）知，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴原式=

1

a-1

-

1

a-2

+

1

a-2

-

1

a-3

+

1

a-3

-

1

a-4

+

1

a-4

-

1

a-5

=

1

a-1

-

1

a-5

=-

4

(a-1)(a-5)

．