试题分析:(1)过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,在Rt△AHD中,由勾股定理可求得DH、AD、PH的值,若△ADP为等腰三角形,则分三种情况:①当AP=AD时,x=AP=AD,②当AD=PD时,有AH=PH,故x=AH+PH,③当AP=PD时,则在Rt△DPH中,由勾股定理可求得DP的值,有x=AP=DP. (2)易证:△DPH∽△PEB⇒,即,故可求得y与x的关系式. (3)利用△DPH∽△PEB,得出,进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可. 试题解析:(1)过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,
∴DH=BC=4,HB=CD=6. ∴AH=2,AD=2. ∵AP=x, ∴PH=x﹣2, 情况①:当AP=AD时,即x=2. 情况②:当AD=PD时,则AH=PH. ∴2=x﹣2,解得x=4. 情况③:当AP=PD时, 则Rt△DPH中,x2=42+(x﹣2)2,解得x=5. ∵2<x<8, ∴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形. (2)∵∠DPE=∠DHP=90°, ∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°. ∴∠HDP=∠EPB. 又∵∠DHP=∠B=90°, ∴△DPH∽△PEB. ∴, ∴. 整理得:y=(x﹣2)(8﹣x)=﹣x2+x﹣4; (3)存在. 设BC=a,则由(2)得△DPH∽△PEB, ∴, ∴y=, 当y=a时, (8﹣x)(x﹣2)=a2 x2﹣10x+(16+a2)=0, ∴△=100﹣4(16+a2), ∵△≥0, ∴100﹣64﹣4a2≥0, 4a2≤36, 又∵a>0, ∴a≤3, ∴0<a≤3, ∴满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过C. |