已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
题型:不详难度:来源:
已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 |
答案
a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0去括号,整理为一般形式为:(c-a)x2+2bx+a+c=0, ∵关于x的一元二次方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数根。 ∴△=0,即△=△=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+c2-a2)=0, ∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2. ∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 |
解析
分析:先把方程变为一般式:(c-a)x2+2bx+a+c=0,由方程有两个相等的实数根,得到△=0,即△=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+c2-a2)=0,则有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 解答: 证明:∵a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0 去括号,整理为一般形式为:(c-a)x2+2bx+a+c=0, ∵关于x的一元二次方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数根。 ∴△=0,即△=△=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+c2-a2)=0, ∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2。 ∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 点评:本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根。 |
举一反三
若关于x的一元二次方程的两个实数根,.则k的取值范围为( ) |
② |
探究下表中的奥妙,填空并完成下列题目 (1).如果一元二次方程()有解为,请你把二次三项式因式分解。 (2).利用上面的结论,把二次三项式因式分解。 |
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