求使关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a.
题型:解答题难度:一般来源:不详
求使关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a. |
答案
当a=-1时,原方程化为-2x-2-6=0,此时x=-4; 当a≠-1时,判别式△=(a2+1)2-4(a+1)(2a3-6)=-7a4-8a3+2a2+24a+25, 若a≤-2,则△=-a2(7a2+8a-2)+24(a+1)+1<24(a+1)+1<0,方程无根; 若a≥2,则△=-8a(a2-3)-a2(7a2-2)+25<-a2(7a2-2)+25<0,方程亦无根; 故-2<a<2, 又因为a为整数,则a只能取-1,0,1,而a≠-1,则a在0,1中取值: 当a=0时,方程可化为x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2; 当a=1时,方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1. 综上所述,关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0,当a=0,1时,方程有整数根. |
举一反三
若关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整数,则符合条件的整数时k的值有______个. |
设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值. |
已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,求a的值. |
求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数. |
a、b、c为实数,ac<0,且a+b+c=0,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根. |
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