求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数. |
答案
x2-3ax+2b=0可知a, △=(-3a)2-4×2b=9a2-8b≥0, 因为x是整数,所以设9a2-8b=s2, (3a+s)×(3a-s)=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b, 讨论:(1)、(3a+s)×(3a-s)=1×8b, 3a+s=1 ①, 3a-s=8b ②, ①+②得 6a=1+8b, 同理可得 6b=1+8c,6c=1+8a, ∴a+b+c=-<0(不符合已知条件), (2)、(3a+s)×(3a-s)=8b*1, 3a+s=8b ①, 3a-s=1 ②, ①+②得 6a=1+8b, 同理可得 6b=1+8c,6c=1+8a, ∴a+b+c=-<0(不符合已知条件), (3)、(3a+s)×(3a-s)=2×4b, (3a+s)=4b ①, (3a-s)=2 ②, ①+②得 6a=2+4b,即3a=1+2b, 同理可得 3b=1+2c,3c=1+2a, 解得 a=b=c=1,x=1,2, (4)、(3a+s)×(3a-s)=2×4b, (3a+s)=2 ①, (3a-s)=4b ②, ①+②得 6a=2+4b,即3a=1+2b, 同理可得 3b=1+2c,3c=1+2a, 解得a=b=c=1,x=1,2, (5)、(3a+s)×(3a-s)=4×2b, 3a+s=4 ①, 3a-s=2b ②, ①+②得 6a=4+2b,即3a=2+b, 同理可得 3b=2+c,3c=2+a, 解得 a=b=c=1,x=1,2, (6)、(3a+s)×(3a-s)=4×2b, 3a+s=2b ①, 3a-s=4 ②, ①+②得 6a=4+2b,即3a=2+b, 同理可得 3b=2+c,3c=2+a, 解得 a=b=c=1,x=1,2; (7)、(3a+s)×(3a-s)=8×b, 3a+s=8 ①, 3a-s=b ②, ①+②得 6a=8+b, 同理可得 6b=8+c,6c=8+a, ∴a+b+c=,可见a、b、c至少一个不是整数,不符合已知条件; (8)、(3a+s)×(3a-s)=8×b, 3a+s=b ①, 3a-s=8 ②, ①+②得 6a=8+b, 同理可得 6b=8+c,6c=8+a, ∴a+b+c=,可见a、b、c至少一个不是整数,不符合已知条件; 答:当a=b=c=1时,x=1或2. |
举一反三
a、b、c为实数,ac<0,且a+b+c=0,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根. |
直角三角形的两边长恰好是方程x2-7x+12=0的两个根,则直角三角形的斜边长是______. |
已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0. (1)判断这个一元二次方程的根的情况; (2)若等腰三角形的一边长为3,另两条边的长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长及面积. |
已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是-2,那么k=______. |
方程x(3x+2)=6(3x+2)的解______. |
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