以关于x的整系数方程x2+(t-4)x+t=0的最大整数根为直径作⊙O,M为⊙O外的一点,过M作⊙O的切线MA和割线MBC,A为切点,若MA,MB,MC都是整数
题型:解答题难度:一般来源:不详
以关于x的整系数方程x2+(t-4)x+t=0的最大整数根为直径作⊙O,M为⊙O外的一点,过M作⊙O的切线MA和割线MBC,A为切点,若MA,MB,MC都是整数,且MB,MC都不是合数,求MA,MB,MC的长度. |
答案
设方程两根为x1、x2则 又MA=x,MB=y,BC=z,则x﹑y﹑z都是正整数. 由切割线定知 MA2=MB•MC=MB(MB+BC), 即x2=y2+yz⇒(x+y)(x-y)=yz.③ 消去①和②中的t,得 x1x2=4-x1-x2. 整理分解,得 (x1+1)(x2+1)=5. 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,不难求得最大整根t=4.进而,z=BC≤4. 又正整数z不是合数,故z=3,2,1. 当z=3时,(x+y)(x-y)=3y,有 可得适合题意的解为x=2,y=1. 当z=1和z=2时,没有适合题意的解, 所以,MA=x=2,MB=y=1,MC=y+z=4. |
举一反三
填空:解一元二次方程的方法有四种,它们是直接开平方法、______、______、______. |
方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )A.x=2 | B.x=3 | C.x=-1,或x=2 | D.x=-1,或x=3 |
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已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是一整数,那么符合条件的整数a有______个. |
一元二次方程x2-4=0的解是( )A.x=2 | B.x=-2 | C.x1=2,x2=-2 | D.x1=,x2=- |
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k为整数,当k=______时,方程9x-3=kx+14有正整数解. |
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