已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.
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已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值. |
答案
设方程x2+ax+b=0的两个根为α,β, ∵方程有整数根, 设其中α,β为整数,且α≤β, 则方程x2+cx+a=0的两根为α+1,β+1, ∴α+β=-a,(α+1)(β+1)=a,(5分) 两式相加,得αβ+2α+2β+1=0, 即(α+2)(β+2)=3, ∴或(10分) 解得或 又∵a=-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b=αβ=-1×1=-1,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2, 或a=-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b=αβ=(-5)×(-3)=15,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6, ∴a=0,b=-1,c=-2;或者a=8,b=15,c=6, ∴a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29, 故a+b+c=-3,或29.(20分) |
举一反三
以关于x的整系数方程x2+(t-4)x+t=0的最大整数根为直径作⊙O,M为⊙O外的一点,过M作⊙O的切线MA和割线MBC,A为切点,若MA,MB,MC都是整数,且MB,MC都不是合数,求MA,MB,MC的长度. |
填空:解一元二次方程的方法有四种,它们是直接开平方法、______、______、______. |
方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )A.x=2 | B.x=3 | C.x=-1,或x=2 | D.x=-1,或x=3 |
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已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是一整数,那么符合条件的整数a有______个. |
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