对a>b>c>0,作二次方程x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0.(1)若方程有实根,求证:a,b,c不能成为一个三角形的三条边长;(2)若方程有实根x
题型:解答题难度:一般来源:不详
对a>b>c>0,作二次方程x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0. (1)若方程有实根,求证:a,b,c不能成为一个三角形的三条边长; (2)若方程有实根x0,求证:a>x0>b+c; (3)当方程有实根6,9时,求正整数a,b,c. |
答案
(1)由方程有实根得,△=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)≥0 即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=a(a-b-c)-b(a+c-b)-c(a+b-c)<a(a-b-c),由a>0,得a-b-c>0, 即a>b+c.所以,a,b,c不能成为一个三角形的三边.(4分)
(2)设f(x)=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca,则f(b+c)=bc>0,f(a)=bc>0, 且f()=<0由(1)知b+c<<a, 所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间,即a>x0>b+c.(7分)
(3)由根与系数关系有a+b+c=15,ab+bc+ca=54, 得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=225-108=117<112.由(2)知a>9, 故得92<a2<112,∴a=10.∴b+c=5,bc=4,由b>c,解得b=4,c=1, ∴a=10,b=4,c=1.(10分) |
举一反三
已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0 (1)无论p为何值时,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不相等的实数根吗?给出你的答案并说明理由.(2)若方程的一个根是x1=1,求方程的另一个根x2及p的值. |
已知关于x的方程:x2-(m-2)x-=0 (1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根; (2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2-x1=2,求m的值及相应的x1、x2. |
已知α,β是关于x的一元二次方程x2-2ax+a+6=0的两个实根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值为______. |
若方程2x2-x-2=0的两根为x1、x2,则+的值为( ) |
如果x=3是方程x2+ax-12=0的一个根,那么另一个根是( ) |
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