在n×n的正方形棋盘上，按以下法则放置棋子：如果某小格子上没有棋子，则在过这格的水平线与竖直线上的棋子总数不小于n．求证：在棋盘上的棋子数不少于n22个．

题型：不详难度：来源：

在n×n的正方形棋盘上，按以下法则放置棋子：如果某小格子上没有棋子，则在过这格的水平线与竖直线上的棋子总数不小于n．
求证：在棋盘上的棋子数不少于

n2

2

个．

答案

证明：考察n行（横）及行（竖）中，一定存在某一行或某一列放置棋子的数目最少，不妨设是第一行放的棋子数量最少，只有k个，…5分
若k≥

n

2

，则n行棋子数s≥nk≥n•

n

2

=

n2

2

，…10分
若k≤

n

2

，则第一行放了棋子数为k格所对应的列上的棋子数不少于k，故这k列上的棋子数s₁≥k•k=k²，而第一行未放棋子的（n-k）列上的棋子数s₂≥（n-k）²，…15分
故s=s₁+s₂=k²+（n-k）²，
而k²+（n-k）²-

n2

2

=2（k-

n

2

）²≥0，
故s≥

n2

2

．…25分