如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀
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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t(秒),当t=2(秒)时,PQ=2
.
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;
(2)连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△AEF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值;
(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
答案
(1)D(8,4),0<t<4;(2)不变化;(3)t=(6﹣2
)
解析
试题分析:(1)先求出t=2秒时OP、CQ的长,在Rt△PCQ中,由勾股定理可求得PC的长,从而得到OC的长,再根据矩形的性质即可得到点D的坐标,根据点P、点Q到达终点所需时间即得t的取值范围;
(2)先根据矩形的性质证得△AQD∽△EQC,再根据相似三角形的性质表示出CE的长,由翻折变换的性质可知DF=DQ=4﹣t,即可得到CF=CD+DF=8﹣t,再根据S=S
梯形AOCF
+S
△FCE
﹣S
△AOE
即可得到结果;
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF,即得△CPQ∽△DAF,再根据相似三角形的性质即可求得t的值,再结合(1)中<t<4即可得到结果.
(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,
在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC=
=
=4,
∴OC=OP+PC=4+4=8
又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).
点P到达终点所需时间为
=4秒,点Q到达终点所需时间为
=4秒,
由题意可知,t的取值范围为:0<t<4;
(2)结论:△AEF的面积S不变化.
∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,
∴
,即
,解得CE=
.
由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4﹣t,则CF=CD+DF=8﹣t.
S=S
梯形AOCF
+S
△FCE
﹣S
△AOE
=
(OA+CF)•OC+
CF•CE﹣
OA•OE=
×8+
(8﹣t)•
﹣
×4×(8+
)
化简得S=32为定值.所以△AEF的面积S不变化,S=32;
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.
由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,
∴
,即
,
化简得t
2
﹣12t+16=0,
解得:t
1
=6+2
,t
2
=6﹣2
,
由(1)可知,0<t<4,
∴t
1
=6+2
不符合题意,舍去.
∴当t=(6﹣2
)秒时,四边形APQF是梯形.
点评:动点的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般压轴题形式出现,难度较大.
举一反三
若函数y=
有意义,则
x
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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B.从家出发,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,然后回家了
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D.从家出发,散了一会儿步,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,18分钟后开始返回
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下列平面直角坐标系中的图象,不能表示
是
的函数的是
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函数
=
的自变量
的取值范围是
。
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函数
中自变量x的取值范围是_______
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