如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数;
(2)若四边形PQOB的面积是4,且CQ:AO=2:1,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)A(-m,0),B(
,0).P(
,
),∠PAB=45°
(2)PA的函数表达式为y=x+2,PB的函数表达式为y=-3x+6.
(3)存在.D
1
(5,3)、D
2
(−3,3)、D
3
(−1,-3).
解析
试题分析:(1)在直线y=x+m中,令y=0,得x=-m.
∴点A(-m,0).
在直线y=-3x+n中,令y=0,得x=
∴点B(
,0).
由
,得
,
∴点P(
,
)
在直线y=x+m中,令x=0,得y=m,
∴|-m|=|m|,即有AO=QO.
又∠AOQ=90°,
∴△AOQ是等腰直角三角形,
∴∠PAB=45°.
(2)∵CQ:AO=2:1,
∴(n-m):m=2:1,
整理得n =3m,
∴
=
而S
四边形PQOB
=S
△
PAB
-S
△
AOQ
=
(
+m)·
-
m
2
=m
2
=4,
解得m=±2,
∵m>0,
∴m=2,
∴n="3m" =6,
∴P(1,3).
∴PA的函数表达式为y=x+2,
PB的函数表达式为y=-3x+6.
(3)存在.
过点P作直线PM平行于x轴,过点B作AP的平行线交PM于点D
1
,过点A作BP的平行线交PM于点D
2
,过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D
3
.
①∵PD
1
∥AB且BD
1
∥AP,
∴PABD
1
是平行四边形.此时PD
1
=AB,易得D
1
(5,3);
②∵PD
2
∥AB且AD
2
∥BP,
∴PBAD
2
是平行四边形.此时PD
2
=AB,易得D
2
(−3,3);
③∵BD
3
∥AP且AD
3
∥BP,此时BPAD
3
是平行四边形.
∵BD
3
∥AP且B(2,O),∴D
3
(−1,-3).
举一反三
已知A、B两地相距300千米,甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速往返两地,甲车先到达B地,停留1小时后按原路返回.设两车行驶的时间为x小时,离开A地的距离是y千米,如图是y与x的函数图象.
(1)计算甲车的速度为
千米/时,乙车的速度为
千米/时;
(2)几小时后两车相遇;
(3)在从开始出发到两车相遇的过程中,设两车之间的距离为S千米,乙车行驶的时间为t小时,求S与t之间的函数关系式.
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与直线的交点A、B均在格点上,根据所给的直角坐标系(O是坐标原点),解答下列问题:
(1)①分别写出点A、B的坐标;
②把直线AB向右平移5个单位,再向上平移5个单位,求出平移后直线A′B′的解析式;
(2)若点C在函数
的图象上,△ABC是以AB为底的等腰三角形,请写出点C的坐标.
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一次函数
的图象如图所示,则不等式:
的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
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如图①,将□ABCD置于直角坐标系中,其中BC边在x轴上(B在C的左边),点D坐标为(0,4),直线MN:
沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图像如图②所示.
(1)填空:点C的坐标为
;
在平移过程中,该直线先经过B、D中的哪一点?
;(填“B”或“D”)
(2)点B的坐标为
,n=
,a=
;
(3)求图②中线段EF的解析式;
(4)t为何值时,该直线平分□ABCD的面积?
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(千米)与时间
(小时)的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
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