如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=14,AD= 4,CD=7.直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向
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如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=14,AD= 4,CD=7.直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向
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如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=14,AD= 4
,CD=7.直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=
.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于AB,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.
(1)求腰BC的长;
(2)当Q在BC上运动时,求S与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻t,使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的
?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?
答案
(1)5;(2)S=﹣5t
2
+14t(0<t≤1)(3)不存在,理由见解析;(4)t=
或t=
解析
试题分析:(1)利用梯形性质确定点D的坐标,利用sin∠DAB=
特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,求出梯形的高,然后利用勾股定理求出BC有长;
(2)当0<t≤1时,S=
×2t×(14﹣5t)=﹣5t
2
+14t;
(3)在(2)的条件下,不存在某一时刻t,使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的
(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论,避免漏解.
试题解析:(1)5
(2)当0<t≤1时,S=
×2t×(14﹣5t)=﹣5t
2
+14t
(3)梯形ABCD的面积为42
﹣5t
2
+14t=
42程无解,所以△MPQ的面积不能为梯形ABCD的
。
(4)△QMN为等腰三角形,有两种情形:
①如图4所示,点M在线段NM的右侧上
,
MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,MN=DM=2t-4,
由MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=
;
②如图5所示,当Q在MN的左侧时,5t-5+(2t-4)-7=(2t-4)+4-4,
解得:t=
.
故当t=
或t=
时,△QMN为等腰三角形.
考点: 一次函数综合题.
举一反三
如图,已知抛物线y
1
=-2x
2
+2,直线y
2
=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y
1
、y
2
.若y
1
≠y
2
,取y
1
、y
2
中的较小值记为M;若y
1
=y
2
,记M=y
1
=y
2
,例如:当x=1时,y
1
=0,y
2
=4,y
1
<y
2
,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y
1
>y
2
;
②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在;
④使得M=1的x值是-
或
.
其中正确的是
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
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如图所示,一次函数y=k
1
x+b与反比例函数y=
(x<0)的图象相交于A,B两点,且与坐标轴的交点为(–6,0),(0,6),点B的横坐标为–4.
(1)试确定反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出不等式k
1
x+b>
的解.
题型:不详
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一次函数y=-x-1的图象与y轴的交点坐标为( )
A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,1)
D.(0,-1)
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一个正比例函数的图象经过点A(1,-2),B(a,2),则a的值为
.
题型:不详
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已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,-1),B(1,0),求这个一次函数的表达式.
题型:不详
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