如图,在平面直角坐标系中,函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线.(1)实验与探究:由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图

如图,在平面直角坐标系中,函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线.(1)实验与探究:由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线.
(1)实验与探究:由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出它们的坐标:B′______、C′______;
(2)归纳与发现:结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为______;
(3)类比与猜想:坐标平面内任一点P(m,n)关于第二、四象限的角平分线的对称点P′的坐标为______;
(4)运用与拓广:已知两点D(0,-3)、E(-1,-4),试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
答案
(1)∵A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),
∴B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′(3,5),C′(5,-2),
故答案为:(3,5);(5,-2)

(2)∵A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),
∴关于直线l对称的点的坐标横纵坐标互为相反数,
∴点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(n,m).
故答案为:(n,m);

(3)猜想:坐标平面内任一点P(m,n)关于第二、四象限的角平分线的对称点P′的坐标为:(-n,-m),
故答案为::(-n,-m);

(4)∵点D关于直线y=x的对称点D′(-3,0),
设过点D′E的直线解析式为y=kx+b(k≠0),
∵D′(-3,0),E(-1,-4),





-3k+b=0
-k+b=-4
,解得





k=-2
b=-6

∴直线D′E的解析式为y=-2x-6,
∵点Q是直线D′E与直线y=x相交与点Q,





y=-2x-6
y=x
,解得





x=-2
y=-2

∴Q(-2,-2)
举一反三
已知一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=2x向上平移6个单位长度得到的,且y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积被一正比例函数分成面积的比为1:2的两部分,求这个正比例函数的解析式.
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如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=-
1
2
x
+b交折线OAB于点E.记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式.
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A、B两地相距300千米,甲、乙两辆火车分别从A、B两地同时出发,相向而行,如图,l1,l2分别表示两辆火车离A地的距离s(千米)与行驶时间t(时)的关系.
(1)l1表示哪辆火车离A地的距离与行驶时间的关系?
(2)1小时后,两车相距多少千米?
(3)求出l1,l2分别表示的两辆火车的s与t的函数关系式.
(4)行驶多长时间后,甲、乙两车相遇?
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如图,在直角梯形OABC中,ABOC,过点O、点B的直线解析式为y=
4
3
x,OA、AB是方程x2-14x+48=0的两个根,OB=BC,D、E分别是线段OC、OB上的动点(点D与点O、点C不重合),且∠BDE=∠ABO,设CD=x,BE=y.
(1)求BC和OC的长;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)是否存在x的值,使以点B、点D、点E为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出x的值;若不存在,请说明理由.
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某蒜薹生产基地喜获丰收,收获蒜薹200吨.经市场调查,可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式,并按这三种方式销售,计划平均每吨的售价及成本如下表:
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销售方式批发零售储藏后销售
售价(元/吨)300045005500
成本(元/吨)70010001200