(1)∵点C的坐标为(3,4), ∴OC==5, 又∵四边形OABC为菱形, ∴OA=OC=5, ∴点A的坐标为(5,0);
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b, 把A(5,0)和点C(3,4)分别代入得,5k+b=0,3k+b=4,解得k=-2,b=10, ∴OD=10, ∴AD==5, 延长BC交OD于M,则CM=3,OM=4, ∴DM=10-4=6, DC==3; ①当点P在线段AB上,Q在线段CD上, PA=2t,DQ=t,CQ=3-t, 过点P作PH⊥AD于H,如图, ∵四边形OABC为菱形, ∴∠PAH=∠OAD, ∴Rt△PHA∽Rt△DOA, ∴PH:OD=AH:OA=PA:AD,即PH:10=AH:5=2t:5, ∴PH=t,AH=t, ∴S=QC•PH=•(3-t)•t=-2t2+6t(0<t≤2.5) ②当点P在线段BC上,Q在线段CD上, PC=10-2t, 过点P作PH⊥AD于H,如图, 易证Rt△PCH∽Rt△DAO, ∴PH:OD=CH:OA=PC:AD,即PH:10=CH:5=(10-2t):5, ∴PH=4-t,CH=2-t, ∴S=PH•CQ=•(4-t)•(3-t)=2t2-16t+30(2.5<t<3); ③当点P在线段BC上,Q在线段CA上, 过点P作PH⊥AD于H,如图, 由②知PH=4-t, ∴S=PH•CQ=•(4-t)•(t-3)=-2t2+16t-30(3<t<5);
(3)当0<t≤2.5, ∵PH=t,AH=t, ∴QH=5-t-t=5-t, ∵tan∠PQH=, ∴PH:QH==,解得t=; 当2.5<t<3, ∵PH=4-t,CH=2-t, ∴QH=3-t+2-t=5-t, ∵tan∠PQH=, ∴PH:QH=(4-t):(5-t)=,解得t=(舍去); 当3<t<5, ∵PH=4-t,CH=2-t, ∴QH=t-3-(2-t)=t-5, ∵tan∠PQH=, ∴PH:QH=(4-t):(t-5)=,解得t=; ∴点P在运动的过程中t为或时,tan∠PQH=. |