已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,BD是AC变上的中线,分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系(如图)(1)求△ABC的面积;(2)求

已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,BD是AC变上的中线,分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系(如图)(1)求△ABC的面积;(2)求

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已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,BD是AC变上的中线,分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系(如图)
(1)求△ABC的面积;
(2)求直线BD的函数关系式;
(3)直线BD上是否存在点M,使△AMC为等腰三角形?若存在,写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=4,
∴S△ABC=
1
2
AB•AC=
1
2
×4×4=8;

(2)∵AB=AC=4,BD是AC边上的中线,
∴AD=DC=2.
∴B(0,4),D(2,0).
设直线BD的函数关系式:y=kx+b,





b=4
2k+b=0
,解得





b=4
k=-2

∴直线BD的函数关系式:y=-2x+4;
(3)设M(a,-2a+4).
分三种情况:
①AM=AC.
∵AM2=a2+(-2a+4)2,AC2=16.
∴a2+(-2a+4)2=16.解得a1=0,a2=
16
5

∴M1(0,4),M2
16
5
,-
12
5
);
②MC=AC.
∵MC2=(4-a)2+(-2a+4)2,AC2=16.
∴(4-a)2+(-2a+4)2=16.
解得a3=4,a4=
4
5

∴M3(4,-4),M4
4
5
12
5
);
③AM=MC.
∵AM2=a2+(-2a+4)2,MC2=(4-a)2+(-2a+4)2
∴a2+(-2a+4)2=(4-a)2+(-2a+4)2
解得a5=2.
∴M5(2,0),这时M5点在AC上,构不成三角形,舍去.
综上所述,在直线BD上存在四点,即M1(0,4),),M2
16
5
,-
12
5
),M3(4,-4),M4
4
5
12
5
)符合题意.
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点B的坐标为(3,0),OA=2,∠AOB=60°.
(1)求点A的坐标;
(2)若直线AB交y轴于点C,求△AOC的面积.
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