已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根x1、x2满足x12﹣x22=0．若直线y=kx（x＞0）上有一点M，过M作MP⊥x轴于P．若OM=①求k的

题型：湖北省月考题难度：来源：

已知关于x的方程x²+（2k﹣1）x+k²=0的两根x₁、x₂满足x₁²﹣x₂²=0．若直线y=kx（x＞0）上有一点M，过M作MP⊥x轴于P．若OM=
①求k的值．  
②求点M的坐标．

答案

解答：解：①由方程的两个实数根为x₁、x₂，
得到b²﹣4ac=（2k﹣1）²﹣4k^2≥0，解得：k≤，
 ∴x₁+x₂=﹣（2k﹣1）=1﹣2k，
∴x₁²﹣x₂²=（x₁+x₂）（x₁﹣x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁﹣x₂=0，
当x₁+x₂=0，即1﹣2k=0，解得：k=（不合题意，舍去）；
当x₁﹣x₂=0，即x₁=x₂，可得b²﹣4ac=（2k﹣1）²﹣4k²=0，
整理得：4k=1，解得：k=； 
 ②设M的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
 ∵直线的方程为y=x过此点，
 ∴把此点代入直线方程得：b=a，即a=4b，①
又∵△OMP为直角三角形，OM=，OP=a，MP=b，
根据勾股定理得：OM²=OP²+MP²，即a²+b²=17，②
①代入②得：16b²+b²=17，即b²=1，
解得：b=1或b=﹣1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
则M的坐标为（4，1）．