如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.
答案
(1)y=﹣x
2
+2x+3
(2)(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3
)、(0,3﹣3
)
(3)当0<m≤
时,S=﹣
m
2
+3m;当
<m<3时,S=
m
2
﹣3m+
.
解析
试题分析:(1)根据对称轴x=1、与x轴的一个交点为A(3,0)、与y轴的交点为B(0,3)可得关于a、b、c的方程组,解出即可
(2)分①MA=M;②AB=AM;③AB=BM三种情况讨论可得点M的坐标.
(3)记平移后的三角形为△PEF.由待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3.易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE,直线BE交AC于G,则G(
,3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中.分二种情况:①当0<m≤
时;②当
<m<3时;讨论可得用m的代数式表示S.
试题解析:(1)由题意可知,
,解得
,经检验均为方程组的解,
故抛物线的解析式为y=﹣x
2
+2x+3.
(2)①当MA=MB时,M(0,0);
②当AB=AM时,M(0,﹣3);
③当AB=BM时,M(0,3+3
)或M(0,3﹣3
).
所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3
)、(0,3﹣3
).
(3)平移后的三角形记为△PEF.
设直线AB的解析式为y=kx+b,则
,
解得
.
则直线AB的解析式为y=﹣x+3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到△PEF,
易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.
设直线AC的解析式为y=k′x+b′,则
,
解得
.
则直线AC的解析式为y=﹣2x+6.
连结BE,直线BE交AC于G,则G(
,3).
在△AOB沿x轴向右平移的过程中.
①当0<m≤
时,如图1所示.
设PE交AB于K,EF交AC于M.
则BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,
联立
,
解得
,
即点M(3﹣m,2m).
故S=S
△PEF
﹣S
△PAK
﹣S
△AFM
=
PE
2
﹣
PK
2
﹣
AF•h
=
﹣
(3﹣m)
2
﹣
m•2m
=﹣
m
2
+3m.
②当
<m<3时,如图2所示.
设PE交AB于K,交AC于H.
因为BE=m,所以PK=PA=3﹣m,
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6,
所以当x=m时,得y=6﹣2m,
所以点H(m,6﹣2m).
故S=S
△PAH
﹣S
△PAK
=
PA•PH﹣
PA
2
=﹣
(3﹣m)•(6﹣2m)﹣
(3﹣m)
2
=
m
2
﹣3m+
.
综上所述,当0<m≤
时,S=﹣
m
2
+3m;当
<m<3时,S=
m
2
﹣3m+
.
举一反三
如图,已知抛物线
与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知二次函数
=
,当
<
<
时,
随
的增大而增大,则实数a的取值范围是 ( )
A.
>
B.
<
≤
C.
>0
D.
<
<
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中, 抛物线
+
与直线
交于A, B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当
时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线
+
与
轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).在直线
上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时
的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
题型:不详
难度:
|
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如图,二次函数y=
x
2
+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6).
(1)求二次函数的解析式.
(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标.
(3)该二次函数的对称轴交x轴于C点.连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积.
(4)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S
△
ADP
=
S
△
BCD
?若存在,请求出P点的坐标;若不存在.请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.
题型:不详
难度:
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