试题分析:(1)将两个解析式联立组成方程组,解方程组即得 要想△ABP的面积最大,则要在要求的抛物线上找到一个点P,使点P到直线AB的距离最大,这时过点P且与AB平行的直线与抛物线只有一个交点,利用根的判别式可确定平移后所得直线的解析式,进而可得点的坐标,求出面积 设圆心为E,连接EQ,直线与x轴交点为H,与y轴交点为F;由已知可得直线与两坐标轴交点的坐标,从而可得直线与坐标轴交点到原点的距离;由圆的切线及相似的知识可得出EQ、QH的长, 再由勾股定理可得要求的值 试题解析:(1)A(-1,0) ,B(2,3) (2)平移直线AB得到直线L,当L与抛物线只有一个交点时,△ABP面积最大[如图12-1(1)]
设直线L解析式为: , 根据,得 判别式△,解得, 代入原方程中,得;解得,, ∴P(,) 易求,AB交轴于M(0,1),直线L交轴于G(0,) 过M作MN⊥直线L于N,∵OM=1,OA=1,∴∠AMO=45° ∵∠AMN=90,∴∠NMO=45° 在RT△MNE中,∠NMO=45°,MG=,[如图12-1(2)] ∴ MN=,MN即为△ABP的高 由两点间距离公式,求得:AB= 故△ABP最大面积 (3)设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90° 则点Q为以OC的中点E为圆心,OC为直径形成的圆E与直线相切时的切点,[如图12-2(1)]
由解析式可知:C(,0),OC=,则圆E的半径:OE=CE==QE 设直线与、轴交于H点和F点,则F(0,1),∴OF=1 则H(,0), ∴OH = ∴ EH= ∵AB为切线 ∴EQ⊥AB,∠EQH=90° 在△FOH和△EQH中 ∴△FOH∽△EQH ∴ ∴ 1:=:QH,∴QH = 在RT△EQH中,EH=,QH =,QE =,根据勾股定理得, += 求得 |