如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点M(m,n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧

如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点M(m,n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧

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如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点M(m,n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上,过点M作x轴的平行线交y轴于点Q,交抛物线于另一点E,直线BM交y轴于点F.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标;
(2)当S△MFQ:S△MEB=1:3时,求点M的坐标.

答案
(1)y=﹣x2+x+2,顶点坐标为();(2)(1,3)或(﹣12,﹣88).
解析

试题分析:(1)把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组,然后求解即可,再把函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标;
(2)根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标,再设直线BM的解析式为y=kx+b(k≠0),然后利用待定系数法求出一次函数解析式,再求出点F的坐标,然后求出MQ、FQ、ME,再表示出△MFQ和△MEB的面积,然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值,再根据点M在抛物线上求出n的值,然后写出点M的坐标即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),

解得
∴y=﹣x2+x+2,
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x2﹣3x+)++2=﹣(x﹣2+
∴顶点坐标为();
(2)∵M(m,n),
∴Q(0,n),E(3﹣m,n),
设直线BM的解析式为y=kx+b(k≠0),
把B(4,0),M(m,n)代入得
解得

令x=0,则y=
∴点F的坐标为(0,),
∴MQ=|m|,FQ=|﹣n|=||,ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|,
∴S△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||,
S△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|,
∵S△MFQ:S△MEB=1:3,
||×3=•|3﹣2m|•|n|,
即||=|3﹣2m|,
∵点M(m,n)在对称轴左侧,
∴m<
=3﹣2m,
整理得,m2+11m﹣12=0,
解得m1=1,m2=﹣12,
当m1=1时,n1=﹣×12+×1+2=3,
当m2=﹣12时,n2=﹣×(﹣12)2+×(﹣12)+2=﹣88,
∴点M的坐标为(1,3)或(﹣12,﹣88).
举一反三
已知二次函数,其图像抛物线交轴的于点A(1,0)、B(3,0),交y轴于点C.直线过点C,且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合).
(1)求此二次函数关系式;
(2)若直线经过抛物线顶点D,交轴于点F,且,则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点E的坐标;若不能,请说明理由.
(3)若过点A作AG⊥轴,交直线于点G,连OG、BE,试证明OG∥BE.

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如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P不与点B,C重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落下点C′处;作∠BPC′的平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,那么y关于x的函数图象大致应为(  )
A.B.C.D.

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今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定:公共租赁住房和廉租住房并轨运行(以下简称并轨房),计划10年内解决低收入人群住房问题.已知第x年(x为正整数)投入使用的并轨房面积为y百万平方米,且y与x的函数关系式为y=-x+5.由于物价上涨等因素的影响,每年单位面积租金也随之上调.假设每年的并轨房全部出租完,预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表:
时间x(单位:年,x为正整数)
1
2
3
4
5

单位面积租金z(单位:元/平方米)
50
52
54
56
58
 
 
(1)求出z与x的函数关系式;
(2)设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元,请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多,最多为多少百万元?
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如图,抛物线y=-x2+x-2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连接BF.
(1)求点B,C所在直线的函数解析式;
(2)求△BCF的面积;
(3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.

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