试题分析:(1)解析式已存在,y=ax2+bx+4,我们只需要根据特点描述求出a,b即可.由对称轴为-,又过点A(-2,0),所以函数表达式易得. (2)四边形为平行四边形,则必定对边平行且相等.因为已知MN∥BC,所以MN=BC,即M、N的位置如B、C位置关系,则可分2种情形,①N点在M点右下方,即M向下平行4个单位,向右2个单位与N重合;②M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合.因为M在抛物线,可设坐标为(x,-x2+x+4),易得N坐标.由N在x轴上,所以其纵坐标为0,则可得关于x的方程,进而求出x,求出M的坐标. (3)使△PBD≌△PBC,易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点.确定平分线可因为BC=BD,可作等腰△BCD,利用三线合一,求其中线所在方程,进而与抛物线联立得方程组,解出P即可. 试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-2,0), ∴0=4a-2b+4, ∵对称轴是x=3, ∴-=3,即6a+b=0, 两关于a、b的方程联立解得 a=-,b=, ∴抛物线为y=-x2+x+4. (2)∵四边形为平行四边形,且BC∥MN, ∴BC=MN. ①N点在M点右下方,即M向下平移4个单位,向右平移2个单位与N重合. 设M(x,-x2+x+4),则N(x+2,-x2+x), ∵N在x轴上, ∴-x2+x=0, 解得 x=0(M与C重合,舍去),或x=6, ∴xM=6, ∴M(6,4). ②M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合. 设M(x,- x2+x+4),则N(x-2,-x2+x+8), ∵N在x轴上, ∴-x2+x+8=0, 解得 x=3-,或x=3+, ∴xM=3-,或3+. ∴M(3-,-4)或(3+,-4) 综上所述,M的坐标为(6,4)或(3-,-4)或(3+,-4). (3)∵OC=4,OB=3, ∴BC=5. 如果△PBD≌△PBC,那么BD=BC=5, ∵D在x轴上, ∴D为(-2,0)或(8,0). ①当D为(-2,0)时,连接CD,过B作直线BE平分∠DBC交CD于E,交抛物线于P1,P2, 此时△P1BC≌△P1BD,△P2BC≌△P2BD, ∵BC=BD, ∴E为CD的中点,即E(-1,2), 设过E(-1,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则, 解得, ∴BE:y=-x+. 设P(x,y),则有, 解得 ,或, 则P1(4+,),P2(4-,). ②当D为(8,0)时,连接CD,过B作直线BF平分∠DBC交CD于F,交抛物线于P3,P4, 此时△P3BC≌△P3BD,△P4BC≌△P4BD, ∵BC=BD, ∴F为CD的中点,即E(4,2), 设过E(4,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则, 解得 , ∴BF:y=2x-6. 设P(x,y),则有, 解得 或 , 则P3(-1+,-8+2),P4(-1-,-8-2). 综上所述,点P的坐标为(4+,)或(4-,)或(-1+,-8+2)或(-1-,-8-2). 【考点】二次函数综合题. |