如图,二次函数的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.(1)求二次函数的解析式;(2)点P在x轴正半轴上,且PA=P

如图,二次函数的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.(1)求二次函数的解析式;(2)点P在x轴正半轴上,且PA=P

题型:不详难度:来源:
如图,二次函数的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为 ,求点M的坐标.

答案
(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(2)OP=
(3)①M′(),
②点M的坐标为(,3+)或(,3﹣).
解析

试题分析:(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,设出二次函数交点式解析式y=a(x+1)(x﹣2),然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式;
(2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可;
(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是﹣2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标;
②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标.
试题解析:(1)设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2),
即y=x2﹣x﹣2;
(2)设OP=x,则PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2
解得,x=
即OP=
(3)①∵△CHM∽△AOC,
∴∠MCH=∠CAO,
(i)如图1,当H在点C下方时,
∵∠OAC+∠OCA=90°,∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM∥x轴
∴yM=﹣2,
∴x2﹣x﹣2=﹣2,
解得x1=0(舍去),x2=1,
∴M(1,﹣2),
(ii)如图1,当H在点C上方时,
∵∠MCH=∠CAO,
∴PA=PC,由(2)得,M′为直线CP与抛物线的另一交点,
设直线CM的解析式为y=kx﹣2,
把P(,0)的坐标代入,得k﹣2=0,
解得k=
∴y=x﹣2,
x﹣2=x2﹣x﹣2,
解得x1=0(舍去),x2=
此时y=×﹣2=
∴M′(),
②在x轴上取一点D,如图(备用图),过点D作DE⊥AC于点E,使DE=
在Rt△AOC中,AC==
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC,

解得AD=2,
∴D(1,0)或D(﹣3,0).
过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图(备用图)
则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6,
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根,
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得x1=,x2=
∴点M的坐标为(,3+)或(,3﹣).

举一反三
已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A.
(1)求该抛物线的解析式和A点坐标;
(2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形,求点D坐标;
(3)若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点,经过点M的直线MN与y轴交于点N,是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等?若存在,请求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.

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如图,直线y=x+m与抛物线y=x2-2x+l交于不同的两点M、N(点M在点N的左侧).
(1)设抛物线的顶点为B,对称轴l与直线y=x+m的交点为C,连结BM、BN,若S△MBC=S△NBC,求直线MN的解析式;
(2)在(1)条件下,已知点P(t,0)为x轴上的一个动点,
①若△PMN为直角三角形,求点P的坐标.
②若∠MPN>90°,则t的取值范围是     

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将二次函数化为的形式,下列结果正确的是[(   )]
A.B.
C.D.

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如图,抛物线经过A、C(0,4)两点,与x轴的另一交点是B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC的对称点的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点D作DE⊥BC于点E,反比例函数的图象经过点E,点在此反比例函数图象上,求的值.

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在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E为对角线AC的中点,点P在边BC上,连接PE、PA.当点P在BC上运动时,设BP=x,△APE的周长为y,下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(   )

A. B.  C.  D.
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