试题分析:(1)本题的关键是求出C点的坐标,可通过构建直角三角形来求解.连接BC,即可根据射影定理求出OC的长,也就得出了C点的坐标,已知了A,B,C三点的坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式. (2)求弧AC=弧CE,可通过弧对的圆周角相等来证,即证∠EAC=∠ABC,根据等角的余角相等不难得出∠ACO=∠ABC,因此只需证∠DCA=∠DAC即可.由于PD是AC的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得出DA=DC,即可证得∠DAC=∠DCA,由此可证出弧AC=弧CE. (3)可先求出M点的坐标,由于OM=AE,因此要先求出AE的长.如果连接PC,设PC与AE的交点为F,那么OF=OM=AE,OF的长可通过证三角形CAO和AFC全等来得出,有了OM的长就能得出M的坐标.可先设出过M于抛物线相交的直线的解析式.然后根据两交点到y轴的距离相等,即横坐标互为相反数,可根据(1)的抛物线的解析式表示出着两个交点的坐标,然后将两交点和M的坐标代入直线的解析式中,可得出一个方程组,如果方程组无解,那么不存在这样的直线,如果有解,可根据方程组的解得出直线的解析式. (1)如图,连接BC, ∵AB为直径, ∴∠ACB=90度. ∴OC2=OA•OB, ∵A(-1,0),B(4,0), ∴OA=1,OB=4, ∴OC2=4, ∴OC=2, ∴C的坐标是(0,2). 设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4), 把x=0时,y=2代入上式得: a=-, ∴. (2). 证明:∵∠ACB=90度. ∴∠CAB+∠ABC=90度. ∵∠CAB+∠ACO=90度. ∴∠ABC=∠ACO. ∵PD是AC的垂直平分线, ∴DA=DC, ∴∠EAC=∠ACO. ∴∠EAC=∠ABC, ∴. (3)不存在. 如图,连接PC交AE于点F, ∵, ∴PC⊥AE,AF=EF, ∵∠EAC=∠ACO,∠AFC=∠AOC=90°, AC=CA, ∴△ACO≌△CAF, ∴AF=CO=2, ∴AE=4. ∵OM=AE, ∴OM=2. ∴M(-2,0), 假设存在,设经过M(-2,0)和相交的直线是y=kx+b; 因为交点到y轴的距离相等,所以应该是横坐标互为相反数, 设两横坐标分别是a和-a,则两个交点分别是(a,)与(-a,), 把以上三点代入y=kx+b,得 , 此方程无解,所以不存在这样的直线.
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