试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程; (2)在抛物线解析式中,令x=0,可求出点C坐标;令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式; (3)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形,则有三种可能的情形,需要分类讨论,逐一计算,避免漏解. (1)∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A(-2,0), ∴-×(-2)2+b×(-2)+4=0, 解得:b=, ∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4, 又∵y=-x2+x+4=-(x-3)2+, ∴对称轴方程为:x=3. (2)在y=-x2+x+4中,令x=0,得y=4, ∴C(0,4); 令y=0,即-x2+x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2, ∴A(-2,0),B(8,0). 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得: , 解得, ∴直线BC的解析式为:y=−x+4. ∵抛物线的对称轴方程为:x=3, 可设点Q(3,t),则可求得: AC=, AQ=, CQ=. i)当AQ=CQ时,有=, 25+t2=t2-8t+16+9, 解得t=0, ∴Q1(3,0); ii)当AC=AQ时,有 t2=-5,此方程无实数根, ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形; iii)当AC=CQ时,有, 整理得:t2-8t+5=0, 解得:t=4±, ∴点Q坐标为:Q2(3,4+),Q3(3,4-). 综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-). |