试题分析:(1)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式. (2)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式,可设D点的横坐标,根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标,即可得到DE的长,以DE为底,D点横坐标为高即可得到△CDE的面积,从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标. (3)根据抛物线的解析式,可求出B点的坐标,进而能得到直线BC的解析式,设出点P的横坐标,根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标,然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长,从而根据:①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC,三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标. (1)由于抛物线经过A(2,0),C(0,-1), 则有:,解得; ∴抛物线的解析式为:y=x2-x-1. (2)∵A(2,0),C(0,-1), ∴直线AC:y=x-1; 设D(x,0),则E(x,x-1), 故DE=0-(x-1)=1-x; ∴△DCE的面积:S=DE×|xD|=×(1-x)×x=-x2+x=-(x-1)2+, 因此当x=1, 即D(1,0)时,△DCE的面积最大,且最大值为. (3)由(1)的抛物线解析式易知:B(-1,0), 可求得直线BC的解析式为:y=-x-1; 设P(x,-x-1),因为A(2,0),C(0,-1),则有:
AP2=(x-2)2+(-x-1)2=2x2-2x+5, AC2=5,CP2=x2+(-x-1+1)2=2x2; 当AP=CP时,AP2=CP2,有: 2x2-2x+5=2x2,解得x=2.5, ∴P1(2.5,-3.5); ②当AP=AC时,AP2=AC2,有: 2x2-2x+5=5,解得x=0(舍去),x=1, ∴P2(1,-2); ③当CP=AC时,CP2=AC2,有: 2x2=5,解得x=±, ∴P3(,--1),P4(-,-1); 综上所述,存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(2.5,-3.5)、P2(1,-2)、P3(,--1),P4(-,-1). |