如图,二次函数的图象与轴交于、两点,与轴交于点,已知点(-1,0),点C(0,-2).(1)求抛物线的函数解析式;(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标

如图,二次函数的图象与轴交于、两点,与轴交于点,已知点(-1,0),点C(0,-2).(1)求抛物线的函数解析式;(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标

题型:不详难度:来源:
如图,二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,已知点(-1,0),点C(0,-2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、B为顶点的四边形为梯形.若存在,请写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点是线段下方的抛物线上的一个动点,求面积的最大值以及此时点的坐标.

答案
(1) (2) 外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为(,0).(3) P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) (4) 点M(2,﹣3),△MBC面积最大值是4.
解析

试题分析:(1)把点 (-1,0),点C(0,-2)代入解析式,即可求出a、c的值,从而二次函数的解析式可求;
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)根据梯形的定义即可求出点P的坐标;
(4)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
(1)将A(-1,0)、点C(0,-2).代入
求得: 
(2)∵A(-1,0)、C(0,-2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:OC2=OA•OB,又:OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为(,0).
(3)共三个P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) 
(4)已求得:B(4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为:y=x-2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,
当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2-x-2,即:x2-2x-2-b=0,且△=0;
∴4-4×(-2-b)=0,即b=-4;
∴直线l:y=x-4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:

解得:
即 M(2,-3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×(2+3)+×2×3-×2×4=4.
∴点M(2,﹣3),△MBC面积最大值是4.
举一反三
如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中,正确的是(  )。
A.①②B.③④C.①④D.①③

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如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由。

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已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC =" 8" cm,BC =" 6" cm,EF =" 9" cm。
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5)。解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由。
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由。(图(3)供同学们做题使用)

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将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为(  )
A.y=(x-2)2B.y=(x-2)2+6C.y=x2+6D.y=x2

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