解:(1)∵A(8,0),B(0,6), ∴OA=8,OB=6, ∴AB===10, ∴cos∠BAO==,sin∠BAO==. ∵AC为⊙P的直径, ∴△ACD为直角三角形. ∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t. 当点Q与点D重合时,OQ+AD=OA, 即:t+t=8, 解得:t=. ∴t=(秒)时,点Q与点D重合. (2)在Rt△ACD中,CD=AC•sin∠BAO=2t×=t. ①当0<t≤时, DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t. ∴S=DQ•CD=(8﹣t)•t=﹣t2+t. ∵﹣=,0<<, ∴当t=时,S有最大值为; ②当<t≤5时, DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8. ∴S=DQ•CD=(t﹣8)•t=t2﹣t. ∵﹣=,<,所以S随t的增大而增大, ∴当t=5时,S有最大值为15>. 综上所述,S的最大值为15. (3)当CQ与⊙P相切时,有CQ⊥AB, ∵∠BAO=∠QAC,∠AOB=∠ACQ=90°, ∴△ACQ∽△AOB, ∴=, 即=, 解得t=. 所以,⊙P与线段QC只有一个交点,t的取值范围为0<t≤或<t≤5. (1)根据点A、B的坐标求出OA、OB,利用勾股定理列式求出AB,根据点Q的速度表示出OQ,然后求出AQ,再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°,再利用∠BAO的余弦表示出AD,然后列出方程求解即可; (2)利用∠BAO的正弦表示出CD的长,然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD,再利用三角形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答; (3)有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点:①运动开始至QC与⊙P相切时(0<t≤);②重合分离后至运动结束(<t≤5). |