已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=

已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=

题型:不详难度:来源:
已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.

(1) 求a1、b1的值及抛物线y2的解析式;
(2) 抛物线y3的顶点坐标为(____,___);依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____,_____)(用含n的式子表示);所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_____________;
(3) 探究下列结论:
①若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,则A0A1=______An-1 An=____________
②是否存在经过点A1(b1,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)a1=1,b1=2,y2=-(x-4)2+4;(2)(9,9),(n2,n2),y=x;(3)2,2n, y=x-2.
解析

试题分析:(1)因为点A0(0,0)在抛物线y1=-(x-a12+a1上,可求得a1=1,则y1=-(x-1)2+1;令y1=0,求得A1(2,0),b1=2;再由点A1(2,0)在抛物线y2=-(x-a22+a2上,求得a2=4,y2=-(x-4)2+4.
(2)求得y1的顶点坐标(1,1),y2的顶点坐标(4,4),y3的顶点坐标(9,9),依此类推,yn的顶点坐标为(n2,n2).因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标,所以顶点坐标满足的函数关系式是:y=x.
(3)①由A0(0,0),A1(2,0),求得A0A1=2;yn=-(x-n22+n2,令yn=0,求得An-1(n2-n,0),An(n2+n,0),所以An-1An=(n2+n)-(n2-n)=2n;
②设直线解析式为:y=kx-2k,设直线y=kx-2k与抛物线yn=-(x-n22+n2交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,联立两式得一元二次方程,得到x1+x2=2n2-k,x1•x2=n4-n2-2k.然后作辅助线,构造直角三角形,求出EF2的表述式为:EF2=(k2+1)[4n2•(1-k)+k2+8k],可见当k=1时,EF2=18为定值.所以满足条件的直线为:y=x-2.
试题解析:(1)∵当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a12+a1与x轴的交点为A0(0,0),
∴0=-(0-a12+a1,解得a1=1或a1=0.
由已知a1>0,∴a1=1,
∴y1=-(x-1)2+1.
令y1=0,即-(x-1)2+1=0,解得x=0或x=2,
∴A1(2,0),b1=2.
由题意,当n=2时,第2条抛物线y2=-(x-a22+a2经过点A1(2,0),
∴0=-(2-a22+a2,解得a2=1或a2=4,
∵a1=1,且已知a2>a1
∴a2=4,
∴y2=-(x-4)2+4.
∴a1=1,b1=2,y2=-(x-4)2+4.
(2)抛物线y2=-(x-4)2+4,令y2=0,即-(x-4)2+4=0,解得x=2或x=6.
∵A1(2,0),
∴A2(6,0).
由题意,当n=3时,第3条抛物线y3=-(x-a32+a3经过点A2(6,0),
∴0=-(6-a32+a3,解得a3=4或a3=9.
∵a2=4,且已知a3>a2
∴a3=9,
∴y3=-(x-9)2+9.
∴y3的顶点坐标为(9,9).
由y1的顶点坐标(1,1),y2的顶点坐标(4,4),y3的顶点坐标(9,9),
依此类推,yn的顶点坐标为(n2,n2).
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标,
∴顶点坐标满足的函数关系式是:y=x.

(3)①∵A0(0,0),A1(2,0),
∴A0A1=2.yn=-(x-n22+n2,令yn=0,即-(x-n22+n2=0,
解得x=n2+n或x=n2-n,
∴An-1(n2-n,0),An(n2+n,0),即An-1An=(n2+n)-(n2-n)=2n.
②存在.
设过点(2,0)的直线解析式为y=kx+b,则有:0=2k+b,得b=-2k,
∴y=kx-2k.
设直线y=kx-2k与抛物线yn=-(x-n22+n2交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,
联立两式得:kx-2k=-(x-n22+n2,整理得:x2+(k-2n2)x+n4-n2-2k=0,
∴x1+x2=2n2-k,x1•x2=n4-n2-2k.
过点F作FG⊥x轴,过点E作EG⊥FG于点G,则EG=x2-x1
FG=y2-y1=[-(x2-n22+n2]-[-(x1-n22+n2]=(x1+x2-2n2)(x1-x2)=k(x2-x1).
在Rt△EFG中,由勾股定理得:EF2=EG2+FG2
即:EF2=(x2-x12+[k(x2-x1)]2=(k2+1)(x2-x12=(k2+1)[(x1+x22-4x1•x2],
将x1+x2=2n2-k,x1•x2=n4-n2-2k代入,整理得:EF2=(k2+1)[4n2•(1-k)+k2+8k],
当k=1时,EF2=(1+1)(1+8)=18,
∴EF=3为定值,
∴k=1满足条件,此时直线解析式为y=x-2.
∴存在满足条件的直线,该直线的解析式为y=x-2.
考点: 二次函数综合题.
举一反三
小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条信息:①c<0;②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤c-4b>0,你认为其中正确信息的个数有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

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如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.

(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
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如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(  )
A.B.C.D.

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已知:如图①,在平行四边形ABCD中,AB=12,BC=6,AD⊥BD.以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED,∠EAD=30°,∠AED=90°.

(1)求△AED的周长;
(2)若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动,得到△A0E0D0,当A0D0与BC重合时停止移动,设运动时间为t秒,△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)如图②,在(2)中,当△AED停止移动后得到△BEC,将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α(0°<α<180°),在旋转过程中,B的对应点为B1,E的对应点为E1,设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q.是否存在这样的α,使△BPQ为等腰三角形?若存在,求出α的度数;若不存在,请说明理由.
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点D、E、F分别是边AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,动点P,Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿AFD的方向运动到点D停止;点Q沿BC的方向运动,当点P停止运动时,点Q也停止运动.在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M,以点P,M,Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y(cm2)(这里规定线段是面积为0有几何图形),点P运动的时间为x(s)

(1)当点P运动到点F时,CQ=          cm;
(2)在点P从点F运动到点D的过程中,某一时刻,点P落在MQ上,求此时BQ的长度;
(3)当点P在线段FD上运动时,求y与x之间的函数关系式.
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