抛物线y＝ax2＋2x＋c与其对称轴相交于点A(1，4)，与x轴正半轴交于点B.（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等

题型：不详难度：来源：

抛物线y＝ax²＋2x＋c与其对称轴相交于点A(1，4)，与x轴正半轴交于点B.
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，求出所有点C的坐标.

答案

（1）y=－x²＋2x＋3；（2）C（1，

），C（1，－4），C（1，

）

解析

试题分析：（1）根据题意知，

，求出a=-1.把A（1，4）代入y=-x²+2x+c,得c=3.由此可求出抛物线的解析式；
（2）分别以AB为底和腰进行讨论，从而得出结论.
试题解析：（1）由题意，点A(1，4)即为抛物线的顶点
于是抛物线的对称轴直线x＝

，∴a＝－1
抛物线的解析式为y＝－(x－1)²＋4＝－x²＋2x＋3
（2）抛物线与x轴正半轴的交点B的坐标是(3，0)
若点A、B与抛物线对称轴上的点C构成等腰三角形，有三种可能：
当AB＝AC时，点C（1，

）
当BA＝BC时，点C（1，－4）
当CA＝CB时，点C（1，

）
综上所述，符合要求的点C共有四个.
考点: 二次函数综合题.

举一反三

.如图,已知抛物线y₁=－2x²＋2,直线y₂=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y₁、y₂.若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂.例如：当x=1时，y₁=0,y₂=4,y₁＜y₂，此时M="0." 下列判断：
①当x＞0时，y₁＞y₂；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是