如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,OA=5,AB=2.点E在线段OC上,作∠MEN=∠AOC,使∠MEN的一边始终

如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,OA=5,AB=2.点E在线段OC上,作∠MEN=∠AOC,使∠MEN的一边始终

题型:不详难度:来源:
如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,OA=5,AB=2.点E在线段OC上,作∠MEN=∠AOC,使∠MEN的一边始终经过点A,另一边交线段BC于点F,连接AF.

(1)求抛物线的解析式;
(2)当点F是BC的中点时,求点E的坐标;
(3)当△AEF是等腰三角形时,求点E的坐标.
答案
(1)y=-x2x;(2)(,0);(3)(3,0)、(2,0)、(,0).
解析

试题分析:(1)根据题意可设该抛物线的解析式为:y=ax(x-8)(a≠0).然后将点A或点B的坐标代入求值即可;
(2)由相似三角形△AOE∽△ECF的对应边成比例求得线段OE的长度,则易求点E的坐标;
(3)需要分类讨论:当AE=EF、AF=EF和AE=AF时,分别求得点E的坐标.
试题解析:(1)抛物线中,AB∥OC,由对称性可知有等腰梯形AOCB.
而OA=5,AB=2,OC=8
则A(3,4),B(5,4)
抛物线的解析式是y=-x2x
(2)可以证明△AOE∽△ECF
,不妨设E(x,0),其中0≤x≤8,
,整理得x2-8x+12.5=0,解得
从而点E的坐标为(,0)
(3)由(2)中相似还可知AO:EC=AE:EF,若△AEF为等腰三角形,则有三种可能.

①当EA=EF时,有EC=AO=5,∴E(3,0)
②当AE=AF时,作AH⊥EF于H,有AE:EF=5:6
∴EC=AO=6,
∴E(2,0)
③当FA=FE时,同理可得AE:EF=6:5
∴EC=AO=
∴E(,0)
综上所述,符合要求的点E有三个.
考点:二次函数综合题.
举一反三
将二次函数化为的形式,结果为(      )
A.B.
C.D.

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将抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线是(      )
A.B.
C.D.

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如图,等腰Rt)的直角边与正方形的边长均为2,且在同一直线上,开始时点与点重合,让沿这条直线向右平移,直到点与点重合为止.设的长为与正方形重合部分(图中阴影部分)的面积为,则之间的函数关系的图象大致是(      )


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已知抛物线的对称轴为,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为       .
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如图,抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点,

(1)求出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x的增大而减小?
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