设A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0. 联立 得: =kx,即x2﹣3kx﹣6=0,∴m+n=3k,mn=﹣6。 设直线PA的解析式为y=ax+b,将P(0,﹣4),A(m,km)代入得:
,解得 。∴直线PA的解析式为 。 令y=0,得x= ,∴直线PA与x轴的交点坐标为( ,0)。 同理可得,直线PB的解析式为 ,直线PB与x轴交点坐标为( ,0)。 ∵ , ∴直线PA、PA与x轴的交点关于y轴对称,即直线PA、PA关于y轴对称。 ①说法①错误,理由如下: 如答图1所示, ∵PA、PB关于y轴对称,∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上。 连接OA′,则OA=OA′,∠POA=∠POA′。
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019042858-91605.jpg) 假设结论:PO2=PA•PB成立,即PO2=PA′•PB,∴ 。 又∵∠BOP=∠BOP,∴△POA′∽△PBO。 ∴∠POA′=∠PBO。∴∠AOP=∠PBO。 而∠AOP是△PBO的外角,∴∠AOP>∠PBO。矛盾。 ∴说法①错误。 ②说法②错误。理由如下: 易知: ,∴ 。 由对称可知,PO为△APB的角平分线, ∴ 。∴ 。 ∴(PA+AO)(PB﹣BO)=(PA+AO)[ ﹣( )] = (PA+AO)(PA﹣OA)= (PA2﹣AO2)。 如答图2所示,过点A作AD⊥y轴于点D,则OD=﹣km,PD=4+km,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019042900-11223.jpg) ∴PA2﹣AO2=(PD2+AD2)﹣(OD2+AD2) =PD2﹣OD2=(4+km)2﹣(﹣km)2=8km+16。 ∵m+n=3k,∴k= (m+n)。 ∴PA2﹣AO2=8• (m+n)•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×(﹣6)+16= m2。 ∴(PA+AO)(PB﹣BO)= (PA2﹣AO2)= • m2=﹣ mn=﹣ ×(﹣6)=16。 ∴(PA+AO)(PB﹣BO)为定值,所以说法②错误。 ③说法③正确,理由如下: 当 时,联立方程组: ,得A( ,2),B( ,﹣1), ∴BP2=12,BO•BA=2×6=12。∴BP2=BO•BA。故说法③正确。 ④说法④正确,理由如下: ∵S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•(﹣m)+ OP•n= OP•(n﹣m)=2(n﹣m) , ∴当k=0时,△PAB面积有最小值,最小值为 。故说法④正确。 综上所述,正确的说法是:③④。 |