解:(1)由题意,得点B的坐标为(4,﹣1). ∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点, ∴,解得。 ∴抛物线的函数表达式为:。 (2)(i)∵A(0,﹣1),C(4,3),∴直线AC的解析式为:y=x﹣1。 设平移前抛物线的顶点为P0,则由(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上。 ∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m﹣1)。 则平移后抛物线的函数表达式为:。 解方程组:,解得,。 ∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3)。 过点P作PE∥x轴,过点Q作QE∥y轴,则 PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2, ∴PQ==AP0。 若△MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况: ①当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为(即为PQ的长), 由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知, △ABP0为等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=。 如答图1,过点B作直线l1∥AC,交抛物线于点M,则M为符合条件的点。 ∴可设直线l1的解析式为:y=x+b1。 ∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5。∴直线l1的解析式为:y=x﹣5。 解方程组,得:,。 ∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7)。
②当PQ为斜边时:MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为. 如答图1,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,﹣1)。 由A(0,﹣1),F(2,﹣1),P0(2,1)可知: △AFP0为等腰直角三角形,且点F到直线AC的距离为。 过点F作直线l2∥AC,交抛物线于点M,则M为符合条件的点。 ∴可设直线l2的解析式为:y=x+b2, ∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b1=﹣3。∴直线l2的解析式为:y=x﹣3。 解方程组,得:,。 ∴M3(,),M4(,)。 综上所述,所有符合条件的点M的坐标为: M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(,),M4(,)。 (ii)存在最大值。理由如下: 由(i)知PQ=为定值,则当NP+BQ取最小值时,有最大值。 如答图2,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q。
连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ, ∴四边形PQFN为平行四边形。 ∴NP=FQ。 ∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。 ∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为。 ∴的最大值为。 |