(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O
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(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O
题型:不详
难度:
来源:
(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,
),已知抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
答案
解:(1)将A(﹣2,0),B(1,
),O(0,0)三点的坐标代入y=ax
2
+bx+c(a≠0),得:
,解得:
。
∴所求抛物线解析式为
。
(2)存在。理由如下:
如答图①所示,
∵
,
∴抛物线的对称轴为x=﹣1。
∵点C在对称轴x=﹣1上,△BOC的周长=OB+BC+CO。
∵OB=2,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小。
∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
,解得:
。
∴直线AB的解析式为
。
当x=﹣1时,
,∴所求点C的坐标为(﹣1,
)。
(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),
则
①
如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=﹣x,PG=y,由题意可得:
将①代入②得:
,
∴当x=
时,△PAB的面积最大,最大值为
。
此时
。
∴点P的坐标为(
,
)。
解析
(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式。
(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标。
(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值。
举一反三
(2013年四川眉山11分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移
个单位后得到的抛物线的解析式.
题型:不详
难度:
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(2013年四川绵阳4分)二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<
;④3|a|+|c|<2|b|.
其中正确的结论是
(写出你认为正确的所有结论序号).
题型:不详
难度:
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(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax
2
+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x
2
+bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b
2
-5b-1).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
题型:不详
难度:
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(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax
2
+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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