解:(1)根据题意得,A(1,0),D(0,1),B(﹣3,0),C(0,﹣3), ∵抛物线经过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3), ∴,解得。 ∴抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3。 (2)存在。△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形: ①以点A为直角顶点, 如图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F。
∵OA=OD=1,∴△AOD为等腰直角三角形。 ∵PA⊥AD,∴△OAF为等腰直角三角形。 ∴OF=1,F(0,﹣1)。 设直线PA的解析式为y=kx+b, 将点A(1,0),F(0,﹣1)的坐标代入得: ,解得。 ∴直线PA的解析式为y=x﹣1。 将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得 x2+2x﹣3=x﹣1,整理得:x2+x﹣2=0, 解得x=﹣2或x=1。 当x=﹣2时,y=x﹣1=﹣3。∴P(﹣2,﹣3)。 ②以点P为直角顶点, 此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上。 过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在; 因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合, ∴P(﹣3,0)。 ③以点E为直角顶点, 此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上。 综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形。 点P的坐标为(﹣2,﹣3)或(﹣3,0)。 (3)y==x2+4x+1。 |