(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1

(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1

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(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.

(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(0,﹣2),∴b=0,c=﹣2。
∵y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),∴0=a+0﹣2,a=2。
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2。
当y=0时,2x2﹣2=0,解得x=±1。
∴点B的坐标为(1,0)。
(2)设P(m,n),
∵∠PDB=∠BOC=90°,
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况:
①若△OCB∽△DBP,则,即,解得
由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,)或(m,)。
②若△OCB∽△DPB,则,即,解得n=2m﹣2。
由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m)。
综上所述,满足条件的点P的坐标为:(m,),(m,),(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m)。
(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
如图,过点Q作QE⊥l于点E,

∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,
∴∠DBP=∠QPE。
在△DBP与△EPQ中,∵
∴△DBP≌△EPQ,∴BD=PE,DP=EQ。
分两种情况:
①当P(m,)时,
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),
,解得(均不合题意舍去)。
②当P(m,2m﹣2)时,
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),
,解得(均不合题意舍去)。
综上所述,不存在满足条件的点Q。
解析
(1)由于抛物线的顶点C的坐标为(0,﹣2),所以抛物线的对称轴为y轴,且与y轴交点的纵坐标为﹣2,即b=0,c=﹣2,再将A(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值,由此确定该抛物线的解析式,然后令y=0,解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标。
(2)设P点坐标为(m,n).由于∠PDB=∠BOC=90°,则D与O对应,所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况讨论:①△OCB∽△DBP;②△OCB∽△DPB.根据相似三角形对应边成比例,得出n与m的关系式,进而可得到点P的坐标。
(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形,过点Q作QE⊥l于点E.利用AAS易证△DBP≌△EPQ,得出BD=PE,DP=EQ.再分两种情况讨论:①P(m,);②P(m,2m﹣2)。都根据BD=PE,DP=EQ列出方程组,求出x与m的值,再结合条件x>0且m>1即可判断不存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形。
举一反三
(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).

(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
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(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).

(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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(2013年四川资阳3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是【   】
A.﹣4<P<0B.﹣4<P<﹣2C.﹣2<P<0D.﹣1<P<0

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(2013年四川资阳12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标;
(3)在满足(2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部分,求出该直线的解析式.
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(2013年四川自贡14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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