解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(0,﹣2),∴b=0,c=﹣2。 ∵y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),∴0=a+0﹣2,a=2。 ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2。 当y=0时,2x2﹣2=0,解得x=±1。 ∴点B的坐标为(1,0)。 (2)设P(m,n), ∵∠PDB=∠BOC=90°, ∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况: ①若△OCB∽△DBP,则,即,解得。 由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件, ∴此时点P坐标为(m,)或(m,)。 ②若△OCB∽△DPB,则,即,解得n=2m﹣2。 由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件, ∴此时点P坐标为(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m)。 综上所述,满足条件的点P的坐标为:(m,),(m,),(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m)。 (3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 如图,过点Q作QE⊥l于点E,
∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°, ∴∠DBP=∠QPE。 在△DBP与△EPQ中,∵, ∴△DBP≌△EPQ,∴BD=PE,DP=EQ。 分两种情况: ①当P(m,)时, ∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2), ∴,解得或(均不合题意舍去)。 ②当P(m,2m﹣2)时, ∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2), ∴,解得或(均不合题意舍去)。 综上所述,不存在满足条件的点Q。 |