(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限
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(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限
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(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax
2
+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由于抛物线y=ax
2
+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),可设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
将C点坐标(0,﹣3)代入,得:a(0+3)(0﹣1)=5,解得 a=1。
∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x﹣1),即y=x
2
+2x﹣3。
(2)如图1,过点P作x轴的垂线,交AC于点N.
设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得
,解得
。
∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣3。
设P点坐标为(x,x
2
+2x﹣3),
则点N的坐标为(x,﹣x﹣3),
∴PN=PE﹣NE=﹣(x
2
+2x﹣3)+(﹣x﹣3)=﹣x
2
﹣3x。
∵S
△
PAC
=S
△
PAN
+S
△
PCN
,
∴
。
∴当x=
时,S有最大值
,此时点P的坐标为(
,
)。
(3)在y轴上是否存在点M,能够使得△ADE是直角三角形。理由如下:
∵y=x
2
+2x﹣3=y=(x+1)
2
﹣4,∴顶点D的坐标为(﹣1,﹣4)。
∵A(﹣3,0),∴AD
2
=(﹣1+3)
2
+(﹣4﹣0)
2
=20。
设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论:
①当A为直角顶点时,如图2,
由勾股定理,得AM
2
+AD
2
=DM
2
,
即(0+3)
2
+(t﹣0)
2
+20=(0+1)
2
+(t+4)
2
,解得t=
。
∴点M的坐标为(0,
)。
②当D为直角顶点时,如图3,
由勾股定理,得DM
2
+AD
2
=AM
2
,
即(0+1)
2
+(t+4)
2
+20=(0+3)
2
+(t﹣0)
2
,解得t=
。
∴点M的坐标为(0,
)。
③当M为直角顶点时,如图4,
由勾股定理,得AM
2
+DM
2
=AD
2
,
即(0+3)
2
+(t﹣0)
2
+(0+1)
2
+(t+4)
2
=20,解得t=﹣1或﹣3。
∴点M的坐标为(0,﹣1)或(0,﹣3)。
综上所述,在y轴上存在点M,能够使得△ADE是直角三角形,此时点M的坐标为(0,
)或(0,
)或(0,﹣1)或(0,﹣3)。
解析
(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。
(2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x,x
2
+2x﹣3),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据S
△
PAC
=S
△
PAN
+S
△
PCN
就可以表示出△PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论。
(3)分三种情况进行讨论:①以A为直角顶点;②以D为直角顶点;③以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可。
举一反三
(2013年四川资阳3分)如图,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是【 】
A.﹣4<P<0
B.﹣4<P<﹣2
C.﹣2<P<0
D.﹣1<P<0
题型:不详
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(2013年四川资阳12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标;
(3)在满足(2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部分,求出该直线的解析式.
题型:不详
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(2013年四川自贡14分)如图,已知抛物线y=ax
2
+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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(2013年浙江义乌3分)如图,抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴交于点A(
1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③
;④3≤n≤4中,
正确的是【 】
A.①②
B.③④
C.①④
D.①③
题型:不详
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(2013年浙江义乌10分)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数.下表提供了部分采购数据.
采购数量(件)
1
2
…
A产品单价(元/件)
1480
1460
…
B产品单价(元/件)
1290
1280
…
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y
1
(元/件),求y
1
与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的
,且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完.在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.
题型:不详
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