试题分析:(1)根据题意可以列出关于x、y的方程组,通过解方程组可以求得点A、B的坐标。 (2)根据函数图象可以直接回答问题; (3)需要分类讨论:以AB为腰和以AB为底的等腰三角形。 解:(1)如图,∵直线y=x与抛物线交于A、B两点, ∴,解得,或。 ∴A(0,0),B(2,2)。 (2)由(1)知,A(0,0),B(2,2). ∵一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2, ∴当y1>y2时,根据图象可知x的取值范围是:0<x<2。 (3)该抛物线上存在4个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形。理由如下: ∵A(0,0),B(2,2),∴B=。 根据题意,可设P(x,), ①当PA=PB时,点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点,
易求线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+2, 则, 解得,,。 ∴P1(,),P2(,)。 ②当PA=AB时,根据抛物线的对称性知,点P与点B关于y轴对称,即P3(﹣2,2)。 ③当AB=PB时,点P4的位置如图所示。 综上所述,符号条件的点P有4个, 其中P1(,),P2(,),P3(﹣2,2)。 |