如图，抛物线与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，)．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线

与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，

)．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则用m的代数式表示线段DC的长；
（3）在（2）的条件下，若△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（4）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

答案

（1）

；（2）

；
（3）

；（4）

解析

试题分析：（1）由抛物线过点A(－1，0)，B(4，

)根据待定系数法求解即可；
（2）先求得直线AB的函数关系式，即可用含m的代数式表示出点D、C的坐标，从而得到结果；
（3）先根据三角形的面积公式表示出S关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据平行四边形的性质结合图形的特征求解即可，要注意分类讨论.
（1）

（2）

（3）如图所示：

（4）

.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

举一反三

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为 [m，1-m，-1]的函数的一些结论：
① 当m＝-1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；
② 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；
③ 当m<0时，函数在x>

时，y随x的增大而减小；
④ 不论m取何值，函数图象经过一个定点．
其中正确的结论有（）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

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某黄金珠宝商店，今年4月份以前，每天的进货量与销售量均为1000克，进入4月份后，每天的进货量保持不变，因国际金价大跌走熊，市场需求量不断增加.如图是4月前后一段时期库存量

(克)与销售时间

(月份)之间的函数图象. （4月份以30天计算）

商品名称金额	A		B
投资金额x（万元）	x	5	x	1	5
销售收入y（万元）	y₁=kx (k≠0)	3	y₂=ax²+bx(a≠0)	2.8	10

（1）该商店月份开始出现供不应求的现象，4月份的平均日销售量为克？
（2）为满足市场需求，商店准备投资20万元同时购进A、B两种新黄金产品。其中购买A、B两种新黄金产品所投资的金额与销售收入存在如图所示的函数对应关系. 请你判断商店这次投资能否盈利？
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，商店准备投资m万元同时购进A、B两种新黄金产品，并实现最大盈利3.2万元，请求出m的值．（利润=销售收入-投资金额）

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如图，一抛物线经过点A、B、C，点 A（−2，0），点B（0，4），点C（4，0），该抛物线的顶点为D．