新定义:若x0=ax02+bx0+c成立,则称点(x0,x0)为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为:y=ax2+(b+1)x
题型:不详难度:来源:
新定义:若x0=ax02+bx0+c成立,则称点(x0,x0)为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为:y=ax2+(b+1)x+(b -1)(a≠0). (1)抛物线C过点(0,-3);如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上,求抛物线C的解析式及其上的不动点; (2)对于任意实数b,实数a应在什么范围内,才能使抛物线C上总有两个不同的不动点? (3)设a为整数,且满足a+b+1=0,若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x1, x2,是否存在整数k,使得成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)y=x2-x-3,(-1,-1)和(3,3);(2)0<a<1;(3)-1或-2. |
解析
试题分析:(1)根据抛物线C过点(0,-3),把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上,即可得到关于a、b的方程组,从而求得结果; (2)由抛物线C有两个不同点可得△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0,再结合b为任意实数,且使得上式成立,可得(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0,即可求得结果; (3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入抛物线C得y=ax2-ax-(a+2),根据x1与x2是抛物线C与x轴的交点横坐标可得△=a2+4a(a+2)>0,即可求得字母a的范围,再结合根与系数的关系求解即可. (1)由题意得,解之得 ∴抛物线为y=x2-x-3 令x=x2-x-3,解之得x1=-1,x2=3 ∴不动点为(-1,-1)和(3,3); (2)∵抛物线C有两个不同的不动点, ∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)=0 ∵抛物线C有两个不同点, ∴△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0 ∵b为任意实数,且使得上式成立, ∴(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0, 从而得或,解之得0<a<1 ∴实数a应在0<a<1; (3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入抛物线C得y=ax2-ax-(a+2) ∵x1与x2是抛物线C与x轴的交点横坐标 ∴△=a2+4a(a+2)>0,解得a>0或a< 由根与系数的关系,得,x1+x2="1," x1·x2= , ∴k=3+=3+=( a>0或a<,且a为整数) 要使k为整数,取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合题意,舍去; ∴存在, . 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
举一反三
下列哪条抛物线向左平移两个单位,再向上平移一个单位,可得到抛物线y=x2( )A.y=(x-2) 2+1 | B.y=(x-2) 2-1 | C.y=(x+2) 2+1 | D.y=(x+2) 2-1 |
|
如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2)在二次函数y=ax2+(a+5)x的图象上.
(1)求该二次函数的关系式; (2)点C是否在此二次函数的图象上,说明理由; (3)若点P为直线OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,问是否存在这样的点P,使得四边形ABMP为平行四边形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
请写出一个二次函数,使它同时具有如下性质: ①图象关于直线对称;②当x=2时,y>0;③当x=-2时,y<0. 答: . |
如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC于点F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是 (填序号). |
黄冈市某高新企业制定工龄工资标准时充分考虑员工对企业发展的贡献,同时提高员工的积极性、控制员工的流动率,对具有中职以上学历员工制定如下的工龄工资方案。 Ⅰ.工龄工资分为社会工龄工资和企业工龄工资; Ⅱ.社会工龄=参加本企业工作时年龄-18, 企业工龄=现年年龄-参加本企业工作时年龄。 Ⅲ.当年工作时间计入当年工龄 Ⅳ.社会工龄工资y1(元/月)与社会工龄x(年)之间的函数关系式如①图所示,企业工龄工资y2(元/月)与企业工龄x(年)之间的函数关系如图②所示. 请解决以下问题
(1)求出y1、y2与工龄x之间的函数关系式; (2)现年28岁的高级技工小张从18岁起一直在深圳实行同样工龄工资制度的外地某企业工作,为了方便照顾老人与小孩,今年小张回乡应聘到该企业,试计算第一年工龄工资每月下降多少元? (3)已经在该企业工作超过3年的李工程师今年48岁,试求出他的工资最高每月多少元? |
最新试题
热门考点