如图,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠

如图,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,请直接写出P点的坐标.
答案
(1);(2);(3)(1,).
解析

试题分析:(1)先根据题意得到点A、B、C的坐标,再根据待定系数法即可求得结果;
(2)先把(1)中的函数关系式配方为顶点式,即可求得顶点坐标,过G作GH⊥AB,垂足为H.即可得到AH=BH=1,GH=-2=.由EA⊥AB,GH⊥AB,可得GH是△BEA的中位线,从而可得EA=3GH=.过B作BM⊥OC,垂足为M.MB=OA=AB.由∠EBF=∠ABM=90°,可得∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.即可证得Rt△EBA≌Rt△FBM.再根据全等三角形的性质即可求得结果;
(3)要使四边形BCPQ的周长最小,可将点C向上平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点C1,得点C1的坐标为(-1,1).可求出直线BC1的解析式为.再求的直线与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为(1,).从而得到结果.
(1)由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0).
设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
解得   

(2)由
∴顶点坐标为G(1,).
过G作GH⊥AB,垂足为H.
则AH=BH=1,GH=-2=
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH.
∴GH是△BEA的中位线 .
∴EA=3GH=
过B作BM⊥OC,垂足为M .
则MB=OA=AB.
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.
∴Rt△EBA≌Rt△FBM.
∴FM=EA=
∵CM=OC-OM=3-2=1,
∴CF=FM+CM=
(3)要使四边形BCPQ的周长最小,可将点C向上平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点C1,得点C1的坐标为(-1,1).可求出直线BC1的解析式为. 
直线与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为(1,).点P的坐标为(1,).
点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般压轴题形式出现,难度较大.
举一反三
二次函数的图像关于对称,则的最小值是         .
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抛物线y=-2x2+1的对称轴是(    )
A.直线x=B.直线x=-C.直线x=2D.直线x=0

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二次函数的图象如图,若一元二次方程
有实数根,则以下关于的结论正确的是(  )
A.m的最大值为2 B.m的最小值为-2
C.m是负数  D.m是非负数

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如图, 抛物线 交于点A,过点A作轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C.

则以下结论:①无论取何值,的值总是正数;②
③当时,;④当时,0≤<1;⑤2AB=3AC.其中正确结论的编号是           
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已知抛物线yax2bxc经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;      
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC是以AC为斜边的Rt△时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N,当△ACN的面积为时,求直线AN的解析式.
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