如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8，8)，直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标

题型：不详难度：来源：

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8，8)，直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1），（0，4）；（2）（0＜t＜8）；
（3）（，）或（2，5）．

解析

试题分析：（1）先设二次函数的解析式为，把A点（8，8）代入即可求出这个二次函数的解析式，根据直线y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标；
（2）设P点在上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，），根据PD⊥x轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；
（3）先过点B作BF⊥PD于F，得出，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设△PBO∽△BOC，得出，即可求出t₁和t₂的值，从而求出P点的坐标.
（1）设二次函数的解析式为，
∵A点（8，8）在二次函数上，
∴，解得
∴
∵直线与y轴的交点为B，
∴B点坐标为（0，4）．
（2）P点在上且横坐标为t，
∴P（t，），
∵PD⊥x轴于E，
∴D（t，），E（t，0），
∵PD=h，
∴
∵P与AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
当BD⊥PE时，△PBD∽△BCO，
∵
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴P点的纵坐标是
此时P点的坐标是（，）
当DB⊥PC时，
△PBD∽△BCO，
过点B作BF⊥PD，

则F（t，4），
∴，BF=t，
根据勾股定理得

假设△PBO∽△BOC，
则有

解得，（舍去）
∴
此时P点的坐标是（2，5）．
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．